无线感测器网路由许多计算和通讯能力非常有限的感测器组成（其示意图见图表1)。在无线感测器网路的实际应用中，通常需要大量的感测器，加上部署环境的制约，随机部署往往是唯一可行的选择。在这些随机部署的无线感测器网路中，感测器构成平面上有限的随机点序列，它们的分布一般假设为均匀分布或者泊松分布。对这些随机部署的无线感测器网路的研究通常将网路表示为各种由随机点序列组成的随机平面几何图。随机平面几何图的研究有着众人皆知的挑战性，其困难主要在于图边的局部非独立性和非常复杂的边界效应。在本项目研究中，我们完成了对以下三个具体问题的概率几何研究。
Greedy Forward Routing 的临界通讯半径：Greedy forwarding routing是一个简单的局部地理路由方法，当每一个节点收到一个资料包时，它检查在其通讯半径内有没有其他节点更接近于该资料包的终点。如果没有，就将该资料包丢弃；否则，就将该资料包传输给在其通讯半径内最接近该资料包终点的节点。显然，Greedy forwarding routing的成功与否依赖于节点的通讯半径。最小的确保Greedy forwarding routing成功的通讯半径定义为Greedy forwarding routing的临界通讯半径。Greedy Forward Routing的临界通讯半径的渐近概率分布问题是资讯理论里一个著名难题。对该问题的研究至少可以追溯到1984年，该问题25年来一直悬而未决。最近几年，我们对该难题从事了一系列的研究，终于在今年彻底解决了该难题。
几何邻近图的最大边长：
相对邻居图和Gabriel图是两个在无线感测器网路的局部拓扑控制和地理路由中有着广泛应用的几何邻近图。它们的应用要求感测器的通讯半径不低于它们的最大边长。在该项目研究中，我们成功给出并证明了它们最大边长的精确渐近概率分布。 |
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扫描统计及其应用：给定一个无线感测器网路和一个扫描集，它们的最大（最小）扫描统计定义为任意一个给定扫描集的拷贝中包含的感测器的数量的最大（最小）值。扫描统计是一个非常有用的分析工具。在该专案研究中，我们首先给出并证明了扫描统计的渐近概率分布，然后利用扫描统计获得了一些关键网路参数的几乎确定的渐近界限。这些参数包括最大邻居数目，最小邻居数目，最大团数，和染色数。 以上研究成果有助于我们充分了解随机部署的大规模无线感测器网路的机理。它们在其他领域包括流行病学、天文学、地质学也有着重要应用。我们解决以上问题的方法和技巧也有助于对其他问题的概率几何研究。 |
